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SOLUCIONARIO ESTADÍSTICA Y MUESTREO CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO

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TEXTO COMPLETO

(1)


1


CONCEPTOS GENERALES


E


JERCICIOS RESUELTOS

1. Solución: • Estadística • Estadísticas • Estadística descriptiva •
Indiferencia estadística • Población • Muestra • Variable discreta • Variable
continua • Investigación parcial • Investigación total • Elemento • Unidad •
Parámetro • Estimador • Muestreo aleatorio • Muestreo no aleatorio •
Estadísticas primarias • Estadísticas secundarias • Estadísticas externas •
Estadísticas internas • Error de muestreo • Dominio de estudio • Marco muestral
• Marco defectuoso



• Sustitución de unidades o elementos • Finalidad de la estadística

• Preguntas de control • Preguntas abiertas • Preguntas filtro

(2)

• Muestreo aleatorio estratificado • Muestreo doble

• Muestreo por conglomerado • Error ajeno al muestreo • Características



• Características cualitativas • Características cuantitativas

2. Solución:

• Estadística: método aplicado en la recolección, organización, análisis y
descripción numérica de la información y en la realización de inferencias.

• Estadísticas: se refiere a un ordenamiento sistemático de datos presentados en
forma de cuadros y gráficas, que permiten visualizar la información.

• Estadística descriptiva: parte de lo general a lo particular, describiendo
mediante cuadros, gráficas y medidas el comportamiento de un conjunto de datos.

• Inferencia estadística: parte de lo particular a lo general. A través de una
muestra se obtiene información para toda una población.

• Población: objeto de la investigación. Es un conjunto de medidas o el recuento
de todos los elementos que presentan una característica común.

• Muestra: recuento de una parte de los elementos pertenecientes a una
población. Los elementos se seleccionan aleatoriamente.

• Variable discreta: son aquellas que admiten únicamente valores enteros. •
Variable continua: son aquellas que admiten valores fraccionarios.

• Investigación mayor: Se selecciona una muestra de la población cuyo resultado
es generalizado a un grupo mayor.

• Investigación total: es aquella, en la cual se selecciona la totalidad de
elementos de una población.

• Elemento: puede ser una entidad simple o compleja. Es indivisible.

• Unidad: conjunto de elementos. Es divisible, como por ejemplo la familia, una
empresa etc., se puede descomponer en personas, trabajadores…

(3)

• Parámetro: son medidas que describen numéricamente la característica de los
elementos de una población.

• Estimador: la descripción de una característica correspondiente a los
elementos de una muestra, a través de la aplicación de medidas.

• Muestreo aleatorio: cuando todos los elementos que constituyen una población,
tienen las mismas posibilidades de ser seleccionadas. Se realiza al azar.

• Muestreo no aleatorio: cuando los elementos son elegidos por métodos no
aleatorios, es decir, a juicio o voluntad, generalmente a juicio del
investigador o en forma caprichosa o por conveniencia.

• Estadísticas primarias: son aquellas que las personas o las empresas realizan
directamente a fin de obtener información.

• Estadísticas secundarias: son informaciones que fueron producidas por otras
personas o entidades y que en un estudio o en algún momento son utilizadas.

• Estadística externas: registros originados fuera de la empresa. Encuestas
sobre la opinión que tienen los consumidores sobre un producto.

• Estadísticas internas: registros originados dentro de la empresa. El
departamento de producción; de Recursos Humanos, etc., producen información.

• Error de muestreo: error que se puede cometer al realizar una investigación
por muestreo. Es la diferencia que hay entre parámetro y estimador. Generalmente
lo establece el investigador.

• Dominio de estudio: manejo inadecuado de la estadística.

Cuando no se tiene la totalidad de los informantes y se trabaja con la
información suministrada por un número de informantes, menores al tamaño de la
muestra.

Cuando está mal diseñada la muestra. Por ejemplo se establece un número óptimo
de alumnos matriculados en la universidad y finalmente se analizan únicamente
aquellas que trabajan. En cada caso la población y la muestra deben corresponder
a alumnos matriculados que trabajan.

• Marco muestral: la lista o mapa completamente actualizada, que contenga las
unidades o los elementos perfectamente identificadas de la cual se selecciona la
muestra.

(4)

se va a investigar.

• Sustitución de unidades o elementos que no informaron:

- Seleccionar un número de elementos superior al tamaño de la muestra.

- Seleccionar del número total que informaron, un número igual a aquellos que no
informaron y duplicamos la información.

- Sustituir el elemento que no informó por el siguiente que si informó, y que
estaba en la lista de los seleccionados.

- De la población que no fue seleccionada, se extrae un número de elementos
igual a los que no informaron.

• Finalidad de la estadística: suministrar información, y su utilidad dependerá
en gran parte del fin que se propongan y de la forma como se obtengan los datos.

• Preguntas de control: determinan la veracidad de la información. • Preguntas
cerradas: cuando se responde únicamente si o no. • Preguntas abiertas: cuando se
pide una opinión.

• Preguntas filtro: determinar si se debe dar por terminada la entrevista o si
hay necesidad de pasar a otras preguntas del formulario.

• Muestreo aleatorio simple: cuando la población no es numerosa, las unidades se
concentran en un área pequeña, la característica investigada presenta muy poca
variabilidad, además, es fácil la elaboración del marco de elementos.

• Muestreo aleatorio estratificado: implica una división de la población en
grupos denominados estratos, en tal forma que el elemento presente una
característica tan definida que solo le permitirá pertenecer a un único estrato.

• Muestreo sistemático: se aplica, cuando la característica a investigar se
encuentra ordenada de mayor a menor o de menor a mayor de acuerdo al valor,
tiempo o cantidad. La selección se hace a intervalos regulares

• Muestreo doble: es aplicado de preferencia, cuando no existe información
auxiliar que permita conocer los tamaños proporcionales de los estratos y hay
dificultad para llegar al elemento o unidad que debe informar.

• Error ajeno al muestreo: errores o fallas que se cometen durante todo el
proceso de investigación.

(5)

• Características cualitativas: se expresan mediante palabras. • Características
cuantitativas: se expresan mediante números.

3. Solución:

a. Población: supongamos que nos situamos en un departamento del país:
Cundinamarca y se desea hacer una investigación sobre el consumo de un
determinado artículo, la población podría estar constituida por todas las amas
de casa del departamento. También se podría hacer investigación sobre la
totalidad de empresas; sobre los vehículos de transporte, particular o de
servicio público o intermunicipal que operan en el departamento.

b. Población finita: cuando la población está constituida por un número limitado
de elementos, por ejemplo la totalidad de trabajadores del sector industrial
textilero del país.

c. Muestra: se investiga una parte de la población, en este caso sería extraer
una muestra aleatorio, de los trabajadores del sector textilero del país.

d. Características: tanto en la población como en la muestra, el ejemplo dado
correspondería al trabajador (como elemento) del sector textilero del país,
donde las características a estudiar son múltiples, algunas de ellas podrían
ser: sexo, edad, tiempo de servicio, estado civil, composición familiar,
propietario de vivienda, salario, etc.

4. Solución:

Estadística descriptiva: un ejemplo podría ser, la investigación sobre
rendimiento académico de los estudiantes de una facultad, en una de las
universidades de la capital del país. Para ello, recolectamos información sobre
la totalidad de los alumnos de la facultad luego, la procesamos para la
elaboración de cuadros y gráficas, con la aplicación de algunas medidas, que
puede estar acompañada de comentarios y conclusiones.

Estadística inductiva: solamente se obtiene información para una parte de los
estudiantes, cuyos resultados son considerados como válidos para el total de
alumnos matriculados en esa facultad, de esa universidad.

(6)

5. Solución:

Tener la información diaria, semanal o mensual, sobre la producción de un
artículo en la empresa donde trabajó, además de otros factores que el proceso
involucra. La lectura e interpretación de ese mundo de información, que
constantemente se produce, a todo nivel, en cada área del saber, obliga el
conocimiento y uso de la estadística.

6. Solución:

Conocer la realidad de la producción de un artículo específico, en una empresa.

Determinar los cambios que presentan la demanda, la producción, las ventas y los
precios en una empresa ya que estos originan cambios constantemente.

Determinar las causas que han llevado a la empresa a exportar un artículo; puede
estar dado por un mejoramiento del precio en el mercado interno, por un volumen
superior a la demanda interna, etc.

7. Solución:

Hechos no repetitivos o aislados. La caída de un meteorito en una zona del país.

Los hechos cualitativos que no se pueden cuantificar, como el amor a la patria;
el grado de religiosidad, etc.

Hechos individuales, aquellos que le ocurren a una sola persona, a una empresa,
a una entidad, etc.

8. Solución:

La estadística se preocupa únicamente por el estado de grupos de personas,
cosas, animales, empresas, etc., de ahí que rechaza los estudios individuales,
ya que no es propiamente su campo de acción.

9. Solución:

9.1 c (verdadero) 9.2 a (verdadero) 9.3 d (verdadero)

(7)

10. Solución: 10.1 Falso 10.2 Verdadero 10.3 Falso 10.4 Cierto 10.5 Falso 11.
Solución: 11.1 d 11.2 a 11.3 b 11.4 c 12. Solución:

12.1 Falso 12.3 Verdadero 12.5 Falso 12.7 Falso

12.2 Falso 12.4 Verdadero 12.6 Falso

13. Solución:

A Planeamiento B Recolección

C Procesamiento, análisis y publicación

A. Planeamiento

- Objetivo o finalidad

- Definición del elemento o unidad - Formulación de hipótesis

- Método de investigación (censo o muestra) - Método de recolección

- Elaboración del presupuesto

- Selección y preparación del personal - Actualización o preparación del marco -
Examen de la documentación y metodología - Elaboración del cuestionario

- Encuesta preliminar

B. Recolección

- Distribución de los formularios - Recolección propiamente dicha

(8)

- Control sobre el número de formularios recolectados

C. Procesamiento – análisis y publicación

- Proceso de crítica de la información recibida

- Elaboración de cuadros de salida y cruce de información - Procesamiento

- Revisión de los cuadros y gráficos - Análisis de la información

- Publicación

14. Solución:

Aspectos materiales

- Tamaño del papel utilizado - Color del mismo

- Tipo de impresión - Calidad del papel Aspectos técnicos:

- Incluir únicamente las preguntas necesarias - No incluir preguntas que no van
a ser contestadas

- Comenzar por las preguntas fáciles hasta llegar a las más difíciles - No hacer
preguntas que conlleve engorrosos cálculos

- Evitar preguntas de difícil recordatorio - Utilizar el lenguaje del informante
- No usar abreviaturas

15. Solución:

(d) Ocupación

16. Solución:

(e) Que todas tengan la misma posibilidad de ser seleccionados

17. Solución:

(d) Un conjunto de medidas o el recuento de todos los elementos que tiene una
característica común.

(9)

18. Solución:

(a) Parámetro

19. Solución:

(d) Los individuales

20. Solución:

(e) Efectuar comparaciones sin sacar conclusiones

21. Solución:

a. Verdadero b. Cualitativo c. Inferencial d. Igual e. Descriptiva

22. Solución:

Objetivo o finalidad d) Grado de homogeneidad

a) Costos e) Destrucción del elemento

b) Tiempo f) Población infinita

c) Recursos humanos g) Población demasiado grande

b) Es un listado o puede ser un croquis, donde aparezcan todos los elementos o
unidades que constituyen la población que va a ser objeto de la investigación,
por lo tanto deben estar plenamente identificados y actualizados.

a) Los colectivos f) Individuales

b) Los que se registran g) No registrados

c) Se repiten h) Aislados

d) Distinta frecuencia i) Constantes

e) Cualitativos cuantificables j) Los que no son cuantificables

23. Solución:

(10)

Unidad: hogares de clase media de dicha ciudad

Característica: tipo de aceite o grasa usada en la cocina Característica:
cualitativa

Característica: ninguna de las dos, dado que es un atributo b) Población:
plantas infestadas de un jardín

Muestra: 50 plantas infestadas de dicho jardín Elemento: planta infestada en
dicho jardín Característica: tiempo

Característica: cuantitativa Característica: variable continua

c) Población: 800 alumnos de un plantel de ambos sexos de 5 a 12 años Muestra:
20 alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Elemento: alumnos de
ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Característica: escala de medición,
de 0 a 10 puntos

Característica: cuantitativa Característica: discreta 24. Solución:

a) Parámetro: medidas aplicadas a las características de los elementos o
unidades en una población. Estimador: lo mismo, pero aplicado a la muestra.

b) Población: conjunto de medidas o recuento de todos los elementos que
constituyen la población que es objeto de investigación. Muestra: lo mismo, pero
solo es una parte de los elementos de la población.

c) Atributo: la característica cualitativa, se expresa mediante palabras y se
cuantifica mediante el conteo. Variable: característica cuantitativa se expresa
numéricamente, ya sea por conteo, como sucede con la variable discreta o
mediante la medición, como ocurre con la variable continua.

d) Muestreo aleatorio: todos los elementos que constituyen la población a
investigar, todos los elementos o unidades que lo conforman, tiene la misma
posibilidad de ser seleccionados. También todas las muestras posibles que se
pueden obtener de una población, tiene la misma posibilidad de ser
seleccionados. Muestreo no aleatorio: los elementos o unidades son seleccionados
caprichosamente, por conveniencia, en forma voluntaria o a juicio del
investigador.

(11)

El alumno podrá contribuir en la solución de este punto, consultando otros
autores, con lo cual va a tener una mejor visión sobre estos términos, aun en
muchos casos, encontrar definiciones diferentes a las dadas en este libro.

(12)


2


ELABORACIÓN


DE CUADROS DE FRECUENCIAS


E


JERCICIOS RESUELTOS

1. Solución: Tabla de frecuencias yi ni hi Ni Hi 0 2 0,10 2 0,10 2 3 0,15 5 0,25
4 7 0,35 12 0,60 6 4 0,20 16 0,80 7 4 0,20 20 1,00 Σ 20 1,00 - - Xi f i n fi i F
n Fi 2. Solución: Cierto Falso a. ( ) ( X ) b. ( X ) ( ) c. ( ) ( X ) d. ( X ) (
) e. ( ) ( X ) f. ( ) ( X )



(13)

3. Solución: n n h i i = n n h 1 1= 10 ) 20 , 0 ( 50 ) ( 2 2 =n h = = n 50 12 ,
0 6 1 1 = = = h n n 1 2 2 H H h = − h2 =0,32−0,12=0,20 10 ) 20 , 0 ( 50 2 2 = =
     = n f n f 50 12 , 0 6 1 1 = = = n f f n n F n F n f2 2 1 − = 2
=0,32−0,12=0,20 n f 4. Solución:

a. Hogares de clase media en la ciudad de Guayaquil b. 150 hogares de clase
media en esta ciudad

c. Atributo

d. Tipo de aceite y grasas usados en la cocina e. 7 clases.

f. Hábitos de consumo de aceites y grasas g. Manteca de cerdo

h. Algunos hogares informaron que usaban más de un tipo de aceite o grasa. i y
ni Ni hi Hi 10 6 6 0,12 0,12 20 10 16 0,20 0,32 30 18 34 0,36 0,68 40 10 44 0,20
0,88 50 6 50 0,12 1,00 Σ 50 - 1,00 - i X f i F i n fi n Fi

(14)

5. Solución:

a. Niños de 5 a 12 años de edad de ambos sexos, residentes en el barrio de San
Eduardo de la ciudad de Maracaibo; b. 15 niños y 15 niñas de 5 a 12 años; c. Es
cuantitativa; d. Puntos de aceptación del nuevo sabor; e. Discreta; f. Numérica
(puntuación de 0 a 10);

g. Test de aceptación h. 8 clases

6. Solución: a.


(

h1+h2+h3


) (

+ h1+h2+h3+h4


)

=1,9 h3 =0,25 ∑hi >1 Falso


(

0,2+0,4+h3


) (

+ 0,2+0,4+h3+0,2


)

=1,9 b. Verdadero 80 16 20 , 0 2 = = h c. Falso n=50≠60 7. Solución: Aceite de
maíz Aceite de soya Aceite de ajonjolí Aceite sin especificar Manteca de cerdo
Grasas de origen vegetal Aceite de oliva 14 65 21 17 21 6 13



Puntos No. de niños

2 3 4 5 6 7 8 10 3 1 2 3 7 9 4 1 Total 30 i y ni hi Ni Hi 2 3 0,10 3 0,10 3 1
0,03 4 0,13 4 2 0,07 6 0,20 5 3 0,10 9 0,30 6 7 0,23 16 0,53 7 9 0,30 25 0,83 8
4 0,14 29 0,97 10 1 0,03 30 1,00 Σ 30 1,00 - - i X fi n fi i F n Fi

(15)

a. Cualitativo b. Cuantitativo – discreta c. Cualitativo

d. Cualitativo e. Cuantitativo – continua f. Cualitativo

g. Cuantitativo - continua

8. Solución:

Se deja al alumno para que investigue en otros libros a fin de determinar una
definición apropiada, diferente a la dada en este libro.

9. Solución:

10. Solución: se deja al estudiante

11. Solución:

a. Falso, es atributo b. Falso c. Cierto

12. Solución: , , 1 i i y y− − yi ni Ni hi Hi yini 5,1 – 15 10 8 8 0,04 0,04 80
15,1 – 25 20 20 28 0,10 0,14 400 25,1 – 35 30 42 70 0,21 0,35 1.260 35,1 – 45 40
60 130 0,30 0,65 2.400 45,1 – 55 50 42 172 0,21 0,86 2.100 55,1 – 65 60 20 192
0,10 0,96 1.200 65,1 – 75 70 8 200 0,04 1,00 560 Σ - 200 - 1,00 - 8.000 ' ' 1 i
i X X− − Xi fi Fi fi/n Fi/n Xi fi i y Tabulación ni Ni hi Hi 3 III 3 3 0,10 0,10
4 IIII 4 7 0,13 0,23 5 IIII II 7 14 0,23 0,46 7 II 2 16 0,07 0,53 8 IIII II 7 23
0,23 0,76 10 IIII 5 28 0,17 0,93 12 II 2 30 0,07 1,00 Σ - 30 - 1,00 - i X - fi
Fi n fi n Fi

(16)

Proceso a seguir: a. n n h i i = 200 04 , 0 8 8 04 , 0 = → = = → n n b. H7 =H6
+h7 → 1,00=0,96+h7 → h7 =1,00−0,96=0,04 c. 3 3 3 0,21(200) 42 3 = → hn=n → = n n
h d. n2 +n5 =62 → n2 +42=62 → n2 =62−42=20 e. 30 42 260 . 1 260 . 1 ) 42 ( 260 .
1 3 3 3 3n = → y = → y = = y f. 2 1 , 0 c y y = − ; 10 5 5 2 10 10 , 0 = − = − =
y ; 2 2 , 1 c y y = − ; 20 5 15 2 10 20 , 1 = − = − = y 13. Solución: 160 max =

x xmin =122 rango= xmax − xmin

38=160−122 m c=38 6,33 6 38 = = c c=7 6 42

7= Se incrementó el rango en 4 unidades y el nuevo recorrido será: 42=xmax −xmin
120 162 42= − ' ' 1 i i y y− − ni yi Ni hi Hi 120,1 – 127 4 123,5 4 0,08 0,08
127,1 – 134 9 130,5 13 0,18 0,26 134,1 – 141 13 137,5 26 0,26 0,52 141,1 – 148
15 144,5 41 0,30 0,82 148,1 – 155 5 151,5 46 0,10 0,92 155,1 – 162 4 158,5 50
0,08 1,00 Σ 50 - - 1,00 - ' ' 1 i i X X− − fi Xi Fi fin Fin

(17)

14. Solución: ' ' 1 i i y y− − yi ni Ni hi Hi 2,75 – 4,25 3,5 4 4 0,08 0,08 4,25
– 5,75 5,0 16 20 0,32 0,40 5,75 – 7,25 6,5 25 45 0,50 0,90 7,25 – 8,75 8,0 5 50
0,10 1,00 Σ - 50 - 1,00 - ' ' 1 i i X X− − Xi fi Fi fi/n Fi/n 1 ' 2 1 y c yo + =
' 4 ' 4c y yo + = ' 4 ' 4i X Xo + = Reemplazando tenemos: 5 , 3 5 , 0 ' + = c yo
4 8,75 ' + = c yo 4 8,75 ' + = i Xo 75 , 8 4 ' + = c yo 50 , 3 5 , 0 ' − =− −yo
c 25 , 5 5 , 3 c = = =1,5= 5 , 3 25 , 5 c i 15. Solución:

a. Amas de casa del barrio El recuerdo b. 50 amas de casa del barrio El Recuerdo

c. Tiempo d. Cuantitativa e. Continua.

i

y : 3 4 5 6 7 8

i

n : 3 7 10 16 9 5 = 50

16. Solución:

(18)

e. y3 =5 n2 =7 H5 =0,90 h4 =0,32 5 3 = X f2 =7 F5/n=0,90 f4/n=0,32 17. Solución:
a. xmax =84 b. rango=84−31=53 31 min = x c. m=1+3,3log40=6,29≅6 d. 9 6 53≅ =
amplitud = ' 3 y X3' =57 5 X =Y5 =70,5 n F4 50 , 0 4 = =H 5 F = N5 =32 9 = =c i
' ' 1 i i y y− − ni Ni hi Hi yi 30,1 – 39 4 4 0,10 0,10 34,5 39,1 – 48 4 8 0,10
0,20 43,5 48,1 – 57 5 13 0,12 0,32 52,5 57,1 – 66 7 20 0,18 0,50 61,5 66,1 – 75
12 32 0,30 0,80 70,5 75,1 – 84 8 40 0,20 1,00 79,5 Σ 40 - 1,00 - - ' ' 1 i i X
X− − fi Fi fi/n Fi/n Xi

(19)

18. Solución: ' ' 1 i i y y− − yi ni hi Ni Hi 10,1 – 18 14 20 0,13 20 0,13 18,1
– 26 22 25 0,17 45 0,30 26,1 – 34 30 30 0,20 75 0,50 34,1 – 42 38 30 0,20 105
0,70 42,1 – 50 46 25 0,17 130 0,87 50,1 – 58 54 20 0,13 150 1,00 Σ - 150 1,00 -
- ' ' 1 i i X X− − Xi fi n fi i F n Fi Primera parte: 150 6 5 4 3 2 1 +n +n +n
+n +n = n f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 =150 150 ) 5 ( 30 30 ) 5 ( 1 1 1 1 + n + +
+ + n + + n = n 150 70 4n1 + = 4f1 + 70 =150 20 4 70 150 1 = − = n Segunda
parte: (1) y2' +0,5c =22 (2) y2' + 4c =50 (2) ' 4 50 2 + c = y (1) −y2' −0,5c
=−22 3,5c =28 8 5 , 3 28 = =

c Luego se le va sumando este valor a partir del 22. Siendo: 22 + 8 = 30; 30 + 8
= 38, etc.

(20)

Tercera parte: 4 2 8 2 = = c

Ahora le restamos a yi y tenemos el límite inferior por ejemplo 10 y si le
sumamos formamos el límite superior que sería 18. Luego: 22-4 = 18 y 22 + 4 =
26, etc.

19. Solución:

a. m=7 b. m=9 c. m=11 d. Si

20. Solución:

a. No se debe utilizar este número de marcas de clase, pues la información
quedaría muy concentrada en dos intervalos, cuando lo recomendado son 5 como
mínimo.

b. Tampoco es aconsejable un número mayor a 16, pues la amplitud se reduce y nos
quedaría casi igual a una variable discreta, además, una distribución en su

presentación es larga.

c. Está dentro de las recomendaciones.

21. Solución:

a. Falso b. Falso c. Falso d. Cierto

22. Solución: a.


(

h1 +h2 +h3


) (

+ h1 +h2 +h3 +h4


)

=1,9


(

f1/n + f2/n+ f3/n


) (

+ f1/n +f2/n + f3/n + f4/n


)

=1,9 9 , 1 ) 2 , 0 4 , 0 2 , 0 ( ) 4 , 0 2 , 0 ( + +h3 + + + h3 + = 25 , 0 5 , 0
2 9 , 1 2 4 , 1 + h3 = ⇒ h3 = ⇒ h3 = 25 , 0 3 = h Cierto



b. La frecuencia relativa no puede tener signo negativo (falso). c. Falso m = no
puede ser 4, a lo sumo igual a 6.

(21)

23. Solución:

a. El 30% de las observaciones b. El 50% c. El 74%

24. Solución:

a. Verdadero b. Cierto c. Falso d. Falso

25. Solución:

Diagramas de frecuencias absolutas y acumuladas

F re c u e n ci a s Variable 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ni F re
c u e n ci a s Variable 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ni 26.
Solución: i y ni Ni 3 3 3 4 4 7 5 7 14 7 2 16 8 7 23 10 5 28 12 2 30 Σ 30 - i X
fi Fi

(22)

Histógrama y polígono Ojiva de frecuencias F re c u e n c ia s Estaturas (cm) 15
10 5 0 120 127 134 141 148 155 162 ni i i y y'−1− ' F re c ue n ci a s Estatura
(cm) Ni 50 0 120 127 134 141 148 155 162 40 30 20 10 i i y y'−1− '

27. Solución: Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas

F re c u e n c ia s Variable 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ni

Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas

F re c u e n c ia s Variable 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ni 28. Solución: i
y ni Ni 3 3 3 4 7 10 5 10 20 6 16 36 7 9 45 8 5 50 Σ 50 - i X fi Fi

(23)

' ' 1 i i y y− − ni Ni 10,1 – 18 20 20 18,1 – 26 25 45 26,1 – 34 30 75 34,1 – 42
30 105 42,1 – 50 25 130 50,1 – 58 20 150 Σ 150 - ' ' 1 i i X X− − fi Fi

Histógrama y polígono Ojiva

de frecuencias F re c u e n c ia s Variable 30 25 20 15 10 5 0 10 18 26 34 42 50
58 ni i i y y'−1− ' F re c u en c ia s Variable 150 100 50 0 10 18 26 34 42 50
58 Ni i i y y'−1− ' 29. Solución: Histógrama y polígono de frecuencias F re c u
e n c ia s Variable 4 3 2 1 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 ci ni 52 i i y
y'−1− ' 30. Solución:

a. Es el promedio que se obtiene entre el límite inferior y el límite superior
de cada

' ' 1 i i y y− − ni Ni ci ni ci 4,1 – 20 30 30 16 1,88 20,1 – 24 16 46 4 4,00
24,1 – 32 20 66 8 2,50 32,1 – 40 10 76 8 1,25 40,1 – 52 24 100 12 2,00 Σ 100 - -
- ' ' 1 i i X X− − f i F i i fi/ i

(24)

b. Variable que toma valores fraccionarios, se trabaja con decimales.

c. La diferencia que hay entre el límite superior y el inferior en cada
intervalo.

d. Es una gráfica de áreas representado por medio de rectángulos cuando la
amplitud es constante, en una variable continua.

e. Es otra gráfica de línea poligonal, utilizando marcas de clase y las
frecuencias. f. Es el mismo intervalo de clase.

31. Solución: a) ' ' 1 i i y y− − hi Hi ni Ni ci ni ci 8,1 – 18 0,30 0,30 240
240 10 24,00 18,1 – 48 0,25 0,55 200 440 30 6,67 48,1 – 98 0,18 0,73 144 584 50
2,88 98,1 – 148 0,14 0,87 112 696 50 2,24 148,1 – 198 0,13 1,00 104 800 50 2,08
Σ 1,00 - 800 - - - ' ' 1 i i X X− − n fi n Fi i f Fi i n fi

b. El 73% de las empresas venden menos de 98 millones de pesos. Variable F re c
u e n ci a s 25 20 15 10 5 ci ni 0 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138
148 158 168 178 188 198

(25)

32. Solución: 39 151 190− = = Rango m = 1+3,3 log50 = 6,6 (6 ó 7) 7 6 39 = =

Amplitud Redefinicióndelrango=192−150=42

' ' 1 i i y y− − ni hi Ni Hi yi 150,1 – 157 4 0,08 4 0,08 153,5 157,1 – 164 13
0,26 17 0,34 160,5 164,1 – 171 19 0,38 36 0,72 167,5 171,1 – 178 9 0,18 45 0,90
174,5 178,1 – 185 3 0,06 48 0,96 181,5 185,1 – 192 2 0,04 50 1,00 188,5 Σ 50
1,00 - - - ' ' 1 i i X X− − fi n fi i F n Fi i X Histógrama y polígono F re c u
e n ci a s 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 150 157 164 171 178 185 192

(26)

Ojiva ascendente Estatura (cm) F re c u e n c ia 60 50 40 30 20 10 0 150 157 164
171 178 185 192 i i y y'−1− ' 33. Solución: 53 31 84− = =

Rango m=1+3,3log40 ≅ 7 (no importa si trabajamos con 7 o 6)

8 7 53=

=

Amplitud Redefinicióndelrango=56 ⇒ 86−30=56

' ' 1 i i y y− − ni hi Ni Hi yi 30,1 – 38 4 0,100 4 0,100 34 38,1 – 46 2 0,050 6
0,150 42 46,1 – 54 5 0,125 11 0,275 50 54,1 – 62 5 0,125 16 0,400 58 62,1 – 70
12 0,300 28 0,700 66 70,1 – 78 9 0,225 37 0,925 74 78,1 – 86 3 0,075 40 1,000 82
Σ 40 1,000 - - - ' ' 1 i i X X− − fi n fi i F n Fi i X

(27)

Ojiva ascendente F re c u e n ci a s 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ni 30 Rangos 38 46
54 62 70 78 86 i i y y'−1− ' 34. Solución:

a) Falso b) Falso c) Falso d) Cierto e) Falso f) Falso (Gráfica) (Cualitativo)
(Cartagena) (Continua) (Muestra) 35. Solución: Costo estimado (Cientos de $)
CONVENCIONES depreciación mantenim iento gasolina seguros esta cionamiento
impuesto 63 ,55% 2,22% 2,27% 5,10% 12 ,71% 14 ,15% 36. Solución:

Además de ser un complemento del cuadro, tiene la virtud de visualizar mejor la
información.

(28)

37. Solución: Ventas Ventas (mill de $) (mill de $) M il lo n e s $ Años 9.000
8.000 7.000 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 M
il lo n e s $ Años 9.000 8.000 7.000 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 2001
2002 2003 2004 2005 2006

(Gráfica lineal) (Gráfica de barras)

38. Solución:

Costos y ventas Costos y ventas

(mill de $) (mill de $) Años 250 200 150 100 50 2002 2003 2004 2005 2006 M il lo
n e s $ ventas costos Años 250 200 150 100 50 2001 2002 2003 2004 2005 M il lo n
e s $ ventas costos

(29)

39. Solución:

Opinión porcentual de posibles votos (positivos y negativos) para congreso y
presidente Negativo 77,76% Positivo 22,24% Negativo 51,68% Positivo 48,32% voto
negativo voto positivo CONVENCIONES Congreso Presidente 40. Solución:

Valor producción y ventas Valor producción y ventas

(mill Tons) (mill Tons)

Años 800 700 600 500 400 300 200 100 2001 2002 2003 2004 2005 M il lo n e s d e
t o n e la d a s producción ventas Años 800 700 600 500 400 300 200 100 2001
2002 2003 2004 2005 M il lo n e s d e t o n e la d a s producción ventas

(30)

41. Solución: Histógrama y polígono F re c u e n ci a s Variable 4,5 4,0 3,5 3,0
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 ci ni 52 i i y y'−1− '
42. Solución: 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 % Taxis Computadores Betamax
Teléfono celular Automóvil particular CONVENCIONES ' ' 1 i i y y− − ni ci ni ci
yi 4,1 – 24 36 20 1,8 14 24,1 – 32 20 8 2,5 28 32,1 – 36 18 4 4,5 34 36,1 – 48
22 12 1,83 42 48,1 – 52 14 4 3,50 50 Σ 110 - - - ' ' 1 i i X X− − f i i i fi i X

(31)

43. Solución:

Encuesta realizada para conocer la opinión sobre contratación de un supervisor

RESULTADOS DE LA ENCUESTA SOBRE LA CONTRATACIÓN DE UN SUPERVISOR a) b) V o to s
250 200 150 100 50 No No está seguro No respondió 35 ,88% No responde 25 ,64% No
está seguro 14 ,78% No 23,7% Si CONVENCIONES Si No

No esta seg uro No respo nde

c. Resultados: 35,88% no respondió; Respondió afirmativamente el 23,7%; No está
seguro, el 25,64%; 14,78% Respondió negativamente. TOTAL: 100%

44. Solución:

a.

Tiempo que se gasta en una

transacción bancaria Rango=62−14 =48 6 30 log 3 , 3 1+ = = m 8 6 48= = Amplitud
' ' 1 i i y y− − n i h i N i H i 14,0 – 22 9 0,30 9 0,30 22,1 – 30 5 0,17 14
0,47 30,1 – 38 5 0,17 19 0,64 38,1 – 46 5 0,17 24 0,81 46,1 – 54 4 0,13 28 0,94
54,1 – 62 2 0,06 30 1,00 Σ 30 1,00 - - i X f i n fi i F n Fi

(32)

b. Histógrama y Polígono de frecuencias F re c u e n ci a s Variable 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 14 22 30 38 46 54 62 ni i i y y'−1− ' 45. Solución: a.

Ventas y costos compañía x

(mil mill $)

Años Ventas netas Costos ventas

2001 19.116 15.776 2002 15.586 12.895 2003 13.534 18.287 2004 21.344 18.476 2005
27.342 20.698 2006 30.620 25.382

(33)

b.

Ventas y costos compañía x Ventas y costos compañía x

2001 - 2006 2001 - 2006 Años 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0 2002
2003 2004 2005 2006 M il es d e m il lo n es $ 2001 ventas costos Años 30.000
25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0 2002 2003 2004 2005 2006 M il es d e m il lo
n es $ 2001 ventas costos 46. Solución: i y ni Ni 2 7 7 4 15 22 6 8 30 8 10 40
10 16 56 12 4 60 Σ 60 - i X fi Fi

Diagrama frecuencias Diagrama frecuencias absolutas absolutas acumuladas

Variable 20 15 10 5 0 2 4 6 8 10 12 ni yi Variable 60 50 40 30 20 10 0 2 4 6 8
10 12 Ni i i y y'−1 − '

(34)

47. Solución: Artículos Porcentajes Camisas Corbatas Calcetines Pantalones Otros
42 8 5 34 11 Total 100

Ventas porcentuales Ventas Porcentuales

Almacén x (agosto 2006) almacén x (agosto 2006)

P o rc en ta je s 50 40 30 20 10 0 C am is a s C o rb at a s C a lc e tin es P a
n ta lo n es Artículos 42% 8% 5% 34% O tr o s 11% 42% CONVENCIONES cam isas
pantalones corbata s calcetines otro 34% 8% 5% 11 %

(35)

48. Solución: i y ni Ni hi Hi 0 7 7 0,18 0,18 1 3 10 0,07 0,25 2 10 20 0,25 0,50
3 9 29 0,22 0,72 4 5 34 0,12 0,84 5 3 37 0,07 0,91 6 1 38 0,03 0,94 7 1 39 0,03
0,97 8 1 40 0,03 1,00 Σ 40 - 1,00 - i X fi Fi n fi n Fi

Diagrama de frecuencias Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas absolutas

Variable 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ni Variable 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
4 5 6 7 8 ni 49. Solución: 55 39 94 : − = Rango m=1+3,3log30=6 60 6 55 ≅ =

Amplitud Se aproximó a 60, por lo tanto se incrementó el nuevo rango en 5; )

6 6 10

(36)

' ' 1 i i y y− − ni Ni hi Hi yi 36,1 – 46 5 5 0,17 0,17 41 46,1 – 56 4 9 0,13
0,30 51 56,1 – 66 7 16 0,23 0,53 61 66,1 – 76 6 22 0,20 0,73 71 76,1 – 86 5 27
0,17 0,90 81 86,1 – 96 3 30 0,10 1,00 91 Σ 30 - 1,00 - - ' ' 1 i i X X− − fi Fi
fi/n Fi/n Xi

Histógrama y polígono Ojiva ascendente

de frecuencias F re cu e n c ia s Variable 7 6 5 4 3 2 1 36 46 56 66 76 86 ni 96
i i y y'−1− ' F re c u e n ci a s Variable 30 25 20 15 10 5 36 46 56 66 76 86 Ni
96 i i y y'−1− '

(37)

50. Solución:

a. Gráfica circular

Ventas porcentuales por almacenes y jornadas

33,37% Carulla 31,45% Exito 15,29% Carrefour 19,89% Vivero 23,36% Exito 20,81%
Vivero 27,03% Carulla 28,81% Carrefour 16,33% Carulla 21,99% Exito 33,67% Vivero
28,01% Carrefour CO NVEN CION ES Carrulla Exito Carrefour Vivero

Jornada mañana Jornada tarde Jornada noche

de 9 a 11 am de 1 a 5 pm de 5 a 10 pm



Ventas porcentuales Ventas porcentuales Ventas porcentuales

Jornada 9 a 11 am Jornada 1 a 5 pm Jornada 5 a 10 pm

% V en ta s (v a lo r) 50 40 30 20 10 C ar u lla C ar re o fo u r E x ito V iv
er o Almacenes 22,5 38,6 30,3 46,4 50 40 30 20 10 C ar u lla C ar re o fo u r E
x it o V iv er o Almacenes 42,6 45,4 36,8 32,8 % V en ta s (v a lo r) 50 40 30
20 10 C ar u ll a C ar re o fo u r E x ito V iv er o Almacenes 34,9 16,0 32,9
20,8 % V en ta s (v a lo r) 51. Solución:

(38)

a.

Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006 V a lo re s 800 700 600 500 400
300 200 100 0 2002 2003 2004 2005 2006 producción ventas b.

Producción y ventas (miles mill $)

2002 - 2006 Años 800 700 600 500 400 300 200 100 2002 2003 2004 2005 2006 M il
lo n e s d e to n e la d a s ventas producción 52. Solución:

(39)

La mayoría, equivocadamente realiza una gráfica circular, sin darse cuenta que
un alumno puede practicar más de un deporte y el porcentaje se obtiene sobre el
número de alumnos encuestados en este caso son 120.

etc. % 17 , 39 3917 , 0 120 47 % 83 , 10 1083 , 0 120 13 = = = =

Porcentaje de alumnos que practican un determinado deporte

P o rc en ta je s 60 50 40 30 20 10 0 A je d re z B al o n ce st o B al o m p ie
N at a ci ó n Deportes 10,83 39,17 51,67 28,33 C ic lis m o T e n is 16,67 6,67

Gráfica mal elaborada

Si la distribución de alumnos por práctica deportiva, se hace mediante una
gráfica circular,

Deportes No. de alumnos %

Ajedrez Baloncesto Balompie Natación Ciclismo Tenis 13 47 62 34 20 8 10,83 39,17
51,67 28,33 16,67 6,67

(40)

Distribución de alumnos por deporte Ciclis mo 10,87 % Natación 10,48 % Ajedrez
7,0 7% Balompié 33 ,7 0 Baloncesto 25,54 % Tenis 4,3 5% CONVENCIONES ajedrez
baloncesto balompié ciclismo nata ción tenis 53. Solución:


(

h1 +h2 +h3


) (

+ h1 +h2 +h3 +h4


)

=0,95 95 , 0 ) 20 , 0 15 , 0 10 , 0 ( ) 15 , 0 10 , 0 ( + +h3 + + +h3 + = 125 ,
0 25 , 0 2 95 , 0 70 , 0 2h3 + = ⇒ h3 = ⇒ h3 = 15 , 0 10 , 0 25 , 0 2 2 2 2 1 2
= h +h = → H = + h ⇒ h = H


( )

0,10 0,20 2 6 = = h ⇒ = n 4 10 , 0 40 10 , 0 4 = = n


( )

40 6 15 , 0 2 = = n n3 = 0,125(40) =5 n5 =0,225


( )

40 =9 Histograma y polígono ' ' 1 i i y y− − y i h i n i 35,1 – 45 40 0,100 4
45,1 – 55 50 0,150 6 55,1 – 65 60 0,125 5 65,1 – 75 70 0,200 8 75,1 – 85 80
0,225 9 85,5 – 95 90 0,200 8 Σ - 1,000 40 ' ' 1 i i X X − − Xi n fi i f



(41)

F re c u e n ci a s Variable 10 8 6 4 2 0 35 45 55 65 75 85 95 ni i i y y'−1− '

(42)


3






MEDIDAS DE


POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL






E


JERCICIOS RESUELTOS

MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución: Yi ni '' i Z Zi''ni 10 6 -2 -12 20 10 -1 -10 → y
30 18 0 0 40 10 1 10 50 6 2 12 Σ 50 - 0 Xi fi di' d 'i fi C Z Z i '' ''= ∑ i A X
di' = i − n n Z C O y t i i ''


∑

+ = Ot = A =30 y =30+10(0)=30 30 ' =         + = ∑ n f d i A



X i i NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la Media se
localiza en el centro de la distribución

(43)

2. Solución: 2.1 141.26 50 063 . 7 = = Σ = n x x i 2.2 m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61
(6 o 7); 6,17 7 6 123 160− = ≅ = C ' ' 1 i i y y− − ni yi yini hi yihi Zi Zini
120,1 – 127 4 123,5 494,0 0,08 9,88 -16,8 -67,2 127,1 – 134 9 130,5 1.174,5 0,18
23,49 -9,8 -88,2 134,1 – 141 13 137,5 1.787,5 0,26 35,75 -2,8 -36,4 141,1 – 148
15 144,5 2.167,5 0,30 43,35 4,2 63,0 148,1 – 155 5 151,5 757,5 0,10 15,15 11,2
56,0 155,1 – 162 4 158,5 634,0 0,08 12,68 18,2 72,8 Σ 50 - 7.015,0 1,00 140,30 -
0 ' ' 1 i i X X− − fi Xi Xi fi n fi       i i i n f X di di fi Nuevo rango
= 162 – 120 = 42 2.3 (a) n n y y=Σ i i n f X X = Σ i i 3 , 140 50 015 . 7 = = y
(b) y=Σyihi X =ΣXi


(

fi/n


)

y =140,3 (c) ΣZini = Σ


(

yi −y


)

ni= 0 Σdi fi =0 (Ver última columna)



(d) y Ot C Znini ''


∑

+ = n f d A X = + ∑ i i Zi = yi −Ot ' di = Xi −A Ot =150 A=150      − + =
50 485 150 y ' i Z ni Zini ' -26,5 4 -106,0 -19,5 9 -175,5 -12,5 13 -162,5 -5,5
15 -82,5 1,5 5 7,5 8,5 4 34,0 Σ 50 -485,0 A Xi − fi di fi



(44)

y =150−9,7 =140,3 X =140,3 Cuando: Ot =134= A       + = 50 315 134 y 3 ,
140 3 , 6 134 + = = y 3 , 140 = X 2.4 ' i Z Zi'' ni Zi ni '' 3,5 0,5 4 2,0 10,5
1,5 9 13,5 17,5 2,5 13 32,5 24,5 3,5 15 52,5 31,5 4,5 5 22,5 38,5 5,5 4 22,0 Σ -
50 145,0 A Xi − di' fi di'fi n n Z c O y t i i ''


∑

+ =         + = ∑ n f d i A X i i ' c Z Zi i ' '' = i A X d i i − = ' t
i i y O Z' = − di = Xi −A Cuando: 120 = t O A=120       + = 50 145 7 120 y
X =140,3 t i o y − ni (yi−ot)ni -10,5 4 -42,0 -3,5 9 -31,5 3,5 13 45,5 10,5 15
157,5 17,5 5 87,5 24,5 4 98,0 Σ 50 315,0 A Xi − fi di fi



(45)


( )

2,9 140,3 7 120+ = = y Cuando Ot =162 n n Z c O y i i t ''


∑

+ =      − + = 50 155 7 162 y


(

3,1


)

7 162+ − = y 3 , 140 7 , 21 162− = = y A=162         + = ∑ n f d i A X i
i ' 3 , 140 = X



2.5 Este punto se deja para que sea solucionado por el estudiante

3. Solución:

a) Primera submuestra b) Segunda submuestra

923 , 132 1 = Σ = n n y y i i 148,291 2 2 = Σ = n n y y i i 923 , 132 26 456 . 3
1 = = y 148,29 24 0 , 559 . 3 2 = = y ' i Z Zi'' ni Zini '' -38,5 -5,5 4 -22,0
-31,0 -4,5 9 -40,5 -24,5 -3,5 13 -45,5 -17,5 -2,5 15 -37,5 -10,5 -1,5 5 -7,5
-3,5 -0,5 4 -2,0 Σ - 50 -155,0 A Xi − di' fi d 'i fi i y ni yini 123,5 4 494,0
130,5 9 1.174,5 137,5 13 1.787,5 Σ 26 3.456,0 i X fi Xi fi i y ni yini 144,5 15
2.167,5 151,5 5 757,5 158,5 4 634,0 Σ 24 3.559,0 i X fi Xi fi

(46)

923 , 132 1 = Σ = n f X X i i ∑ + = i w w X w X X 1 1 2 2 =Σ =148,291 n f X X i
i n f X f X X = 1 1+ 2 2 2 1 2 2 1 1 n n n y n y y + + = 140,3 24 26 ) 24 ( 291
, 148 ) 26 ( 923 , 132 = + + = b) M[ ]KX = Kx M[ ]KX =2(140,3)=280,6

La propiedad se refiere a: “La media aritmética del producto de una constante
por una variable es igual a la media de la variable, multiplicado por la
constante”.

i y yiK ni Kyini 123,5 247 4 988 130,5 261 9 2.349 137,5 275 13 3.575 144,5 289
15 4.335 151,5 303 5 1.515 158,5 317 4 1.268 Σ - 50 14.030 i X KXi fi KXifi [
]KY =KM[ ]Y ⇒ M M[ ]KX =KM[ ]X [ ] =Ky ⇒ M KY M[ ]KX =KX [ ]KY =2


(

140,30


)

=280,60 M [ ] 280,60 50 030 . 14 = = KY M



(47)

4. Solución ∑ = 7 1 ' i i d = 7 7 1 ' = ∑ = i i Z Ot =55 C =10 110 40 7 6 5 7 5
= + + = ∑ = h h h h i i 55 = A i =10 110 40 7 6 5 7 5 = + + = ∑ = n f n f n f i
110 40 7 6 5 7 5 = + + = ∑ = h h h h i i 110 40 7 6 5 7 5 = + + = ∑ = n n n n n
n i 110 = n n5+n6+n7 =40 n5+15+1=40 n5 =40−16=24 Otra solución posible:

1 7 1 = ∑ = i i h      = + + = + + 110 40 110 40 7 6 5 3 2 1 h h h h h h
110 30 4 = h 4 4 3 2 1 110 70 H h h h h + + + = = n N H 4 4 = 110 6363 , 0 70 4
4 = = = N H n

(48)

' ' 1 i i y y− − yi ni Ni yini '' i Z Zi' Zi'ni Zi''ni 30,1 – 40 35 1 1 35 -2
-20 -20 -2 40,1 – 50 45 15 16 675 -1 -10 -150 -15 50,1 – 60 55 24 40 1.320 0 0
−1701.270 127 17 − 60,1 – 70 65 30 70 1.950 1 10 300 30 70,1 – 80 75 24 94 1.800
2 20 480 48 80,1 – 90 85 15 109 1.275 3 30 450 45 90,1 – 100 95 1 110 95 4 40 40
4 Σ - 110 - 7.150 7 - 1.100 110 ' ' 1 i i X X− − Xi fi Ni Xi fi di' di di fi d
'i fi

Calculamos la media aritmética, aplicando algunas fórmulas ya vistas a) n n y
y=Σ i i 65 110 150 . 7 = = =Σ =65 n f X X i i b) n n Z O y i i t ' ∑ + = 55 10
65 110 100 . 1 55+ = + = = = + ∑ =65 n f d A X i i c) n n Z c O y i i t '' ∑ + =
55 10 65 110 110 10 55 = + =      + = 65 ' =         + = ∑ n f d i
A X i i

NOTA: Como la distribución es SIMETRICA, la media ubica en la mitad de la
variable (marcas de clase)

5. Solución: ' ' 1 i i y y− − Ni yi ni yini '' i Z Zi''ni Zi' Zi'' Zi''ni 6,1 –
12 8 9 8 72 -3 -24 -21 -3,5 -28,0 12,1 – 18 12 15 4 60 -2 -8 -15 -2,5 -10,0 18,1
– 24 40 21 28 588 -1 -28 -9 -1,5 -42,0 24,1 – 30 70 27 30 810 0 −6040 -3 -0,5
-15,0 30,1 – 36 90 33 20 660 1 20 3 0,5 10,0 36,1 – 42 100 39 10 390 2 20 9 1,5
15,0 Σ - - 100 2.580 - -20 0 0 -70,0 ' ' 1 i i X X− − Ni Xi fi Xi fi di' d 'i fi
di di' d 'i fi

(49)

a) n n y y=Σ i i 25,80 100 580 . 2 = = y Ot c Znini '' ∑ + = 25,80 100 120 27
100 20 6 27  =      − =      − + = =Σ =25,80 n f X X i i 25,80 ' = 
       + = ∑ n f d i A X i i A=27 b) 25,80 100 420 30 100 70 6 30 =  
  − =      − + = y y =25,80 Ot = A =30 6. Solución: 75 1 = n n=100 x1
=52,6 n2 =25 x2 = 48,4


( )


( )

galones x 51,55 100 25 4 , 48 75 6 , 52 = + = 7. Solución: 500 = n n1 =150 n2
=350 x=1,57 x1 =1,52 n n x n x x = 1 1 + 2 2


( )


( )

500 350 150 52 , 1 57 , 1 = +x2 ∑ + = i w w x w x X 1 1 2 2


( )

500 228 350 2 57 , 1 = + x media estatura de Mts x 1,59 350 228 785 2= = − 8.
Solución: 200 = n n1 =? n2 =? n1+n2 =200 n1=200 n− 2



(50)

96 , 160 = x x1 =163,4 x2 =157,3 200 3 , 157 4 , 163 96 , 160 = n1+ n2 ;
32.192=163,4


(

200−n2


)

+157,3n2 2 2 157,3 4 , 163 680 . 32 192 . 32 = − n + n 488 1 , 6 n2 = 80 1 , 6
488 2 = = n Estudiantes 120 80 200 1 = − = n Estudiantes 9. Solución: ? = n n1
=27 n2 =? x =60,98 x1 =57,30 x2 =65,30


( )

2 2 27 3 , 65 27 3 , 57 98 , 60 n n ++ = 1.646,46+60,98n2 =1.547,1+65,3n2
99,36=4,32n2 n2 =23 Estudiantes 10. Solución: 45 = n n1 =20 n2 =25 x =55 x1
=48,4 x2 =?


( )


( )

45 25 20 4 , 48 55= + x2 2 25 968 475 . 2 = + x 28 , 60 2 = x Puntos



(51)

11. Solución: 100 = n n1 =40 n2 =60 x =186,3 x1 =? x2 =x1 −10


( )


(


)

100 10 60 40 3 , 186 = x1 + x1−


( )

100 600 60 40 3 , 186 = x1 + x1 − 600 60 40 630 . 18 = x1+ x1− 30 , 192 100 230
. 19 1 = = x 30 , 182 10 30 , 192 2 = − = x Libras 12. Solución: 91 = n n1 =n2
n3 = n1 −5 x =69,3 x1 =70,4 x2 =64,2 x3 =? 91 3 2 1+n +n = n


(

5


)

91 2n1+ n1− = 91 5 3n1 − = 96 3n1 = 3 32 96 1 = = n n2 =32 n3 =27


( )


( )

91 27 32 2 , 64 32 4 , 70 3 , 69 = + + x3 ; 74,04 27 1 , 999 . 1 3 = = x
Promedio de calificación 13. Solución: 000 . 920 = x x1 =970.000 x2 =840.000 h1
=? h2 =?



(52)

n n x n x x = 1 1 + 2 2 x =x1h1 +x2h2 1=h1+h2 h1=1 h− 2


(

2


)

2 2 1 1 h x h x x = − + 920.000=970.000


(

1−h2


)

+840.000h2 920.000 =970.000−970.000h2 +840.000h2 130.000h2 =50.000 % 46 , 38
3846 , 0 000 . 130 000 . 50 2 = = = h Hombres 0,6154 61,54% 000 . 130 000 . 80 1
= = = h Mujeres 14. Solución: 000 . 938 = x K =78.000 M[K+X] = K + x 000 . 016 .
1 000 . 938 000 . 78 + = = + x K Salario promedio 15. Solución: 0 , 70 = x x1
=68,4 x2 =71,2 n1 =? n2 =? 2 1 2 1 71,2 4 , 68 70 n n n n ++ = → 70n1+70n2
=68,4n1+71,2n2 2 2 1 1 68,4 71,2 70 70n − n = n − n 2 1 1,2 6 , 1 n = n 75 , 0 6
, 1 2 , 1 2 1 = = n n Es la relación 16. Solución: 35 1 = n n2 =15 n=50 x =?



(53)

5 , 17 1 = x 3,85 100 22 5 , 17 × = x2 =x1 − 22% x1 ; x2 =17,5−3,85=13,65 n n x
n x x = 1 1 + 2 2


( )


( )

16,345 50 75 , 204 5 , 612 50 15 65 , 13 35 5 , 17 = + = + =



x Edad media del curso

17. Solución: 100 = n n1 =? n2 =? n1+n2 =100 n1 =100−n2 750 . 18 = x x1 =17.580
x2 =19.780 100 780 . 19 580 . 17 750 . 18 = n1+ n2


( )

100 17.580


(

100 2


)

19.780 2 750 . 18 = −n + n 2 2 19.780 580 . 17 000 . 758 . 1 000 . 875 . 1 = − n
+ n 53 200 . 2 000 . 117 2 = = n Artículos n1 =47 Artículos 18. Solución: i ih y
y =Σ =18,15


(

f n


)

x x =Σ i i/ =18,15



Promedio de empleados por sucursal

i y hi yihi 17 0,10 1,70 18 0,65 11,70 19 0,25 4,75 Σ 1,00 18,15 i X fi/n Xi


(

fi n


)



(54)

19. Solución: n x x =Σ i b) x =83.000 a) 518 10 180 . 5 = = x 800 . 51 $ 800 .
314 $ 000 . 180 000 . 83 800 . 51 + + = = x

Costo total promedio mensual

c) 180 10 800 . 1 = = y $180.000 20. Solución: i x 560 640 380 600 420 280 550
700 420 630 5.180 ' ' 1 i i y y− − ni yi yini 80,1 – 120 1 100 100 120,1 – 160 3
140 420 160,1 – 200 2 180 360 200,1 – 240 3 220 660 240,1 – 280 1 260 260 Σ 10 -
1.800 ' ' 1 i i X X − − fi Xi Xi fi i y ni yini 500 10 5.000 600 16 9.600 700 35
24.500 800 26 20.800 900 13 11.700 Σ 100 71.600 i X fi Xi fi i y + 7% yi +49 535
642 749 ←igual→ 856 favorable 963 549 favorable 649 749 849

(55)

21. Solución:

a) Falso b) Falso c) Falso d) Falso (no puede ser mayor a 1)

Se le deja al alumno investigar el por qué

22. Solución: a)


( )

2 2 25 4 , 6 8 , 3 25 8 , 5 n n ++ =


( )

25 5,8 2 25


( )

3,8 6,4 2 8 , 5 + n = + n 2 2 95 6,4 8 , 5 145+ n = + n 2 2 5,8 4 , 6 95 145− =
n − n 2 6 , 0 50= n 83 6 , 0 50 2 = = n (Redondeamos) 108 25 83 1 2 +n = + =



n Cierto, el curso tiene más de 90 alumnos.

949 i y ni Hi – – – – – – – – – y – 0,3

(56)

b) H6 =0,7 3 , 0 4 = H % 40 / cierto R 4 , 0 3 , 0 7 , 0 4 6 − H = − = H c)
Siendo: n1=n2 =n3 f1 = f2 = f3 es falso 000 . 751 3 000 . 864 000 . 754 000 .
635 = + + = x 000 . 754 000 . 751 ≠

Siendo: n1 ≠ n2 ≠ n3 puede ser posible. Cuando n1 = n2 = n3 no es posible.

000 . 254 000 . 864 000 . 754 000 . 635 1 + 2 + 3 = = n n n n x

(Procedimiento válido cuando n1 ≠ n2 ≠ n3 f1 ≠ f2 ≠ f3 )

d) Falso. En el cálculo de la media geométrica no se necesita de la amplitud.

e) 75% Hombres empleados públicos 81% Hombres sector privado

% 100

%

25 Mujeres empleados públicos

% 100

%

19 Mujeres sector privado

% 22 2 44 2 19 25+ = = =

x Mujeres en ambos sectores (Cierto)

– – 6 y – – – – – – – i X Xi

(57)

f) Cierto. Si normalmente


∑

hi =1 o 100%, al multiplicar la frecuencia relativa por 2 nos queda: ∑2hi =2;
∑hi =2,00=200% por lo tanto la media se duplica.



23. Solución:

a) Cierto b) Falso c) Cierto

24. Solución:

a) El total de apartamentos de esa urbanización b) Los 50 apartamentos de esa
urbanización c) Tiempo de permanencia del aroma

d) Tiempo: horas, minutos, segundos, corresponde a una variable continua. e) n n
y y=Σ i i 6,1 50 305 = = y Horas n f X X =Σ i i 1 , 6 = Horas

f) Se le deja al estudiante la elaboración de la gráfica.

25. Solución:

x =655.000

Para el conjunto de personal se tiene:

a) Un aumento de 8%⇒ x =655.000(1,08) =$707.400

También se puede resolver: M[K+X] =52.400 +655.000 =$707.400 i y ni yini 3 3 9 4
7 28 5 10 50 6 16 96 8 9 72 10 5 50 Σ 50 305 i X fi Xi fi


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08- MUESTREO DE POBLACIÓN 

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CLASE 2 POBLACIÓN Y MUESTRA

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CARACTERÍSTICAS SOCIOECONÓMICAS DE LA POBLACIÓN: POBLACIÓN ACTIVA Y EMPLEO

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CAPÍTULO. CARACTERÍSTICAS DE LA POBLACIÓN

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VARIABLES-POBLACIÓN-MUESTRA EJERCICIOS

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POBLACIÓN Y MUESTRA. LA MUESTRA ALEATORIA

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