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Círculos y Pi
Trailer

Introducción

Grados y radianes

Tangentes, cuerdas y arcos

Los teoremas del círculo

Polígonos cíclicos

Esferas, conos y cilindros

Secciones cónicas

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GLOSARIO


Base 10
Cálculo
Principio de Cavalieri
Circulo
Circunferencia de un círculo
Diámetro (círculo)
Radio
Sector circular
Compás
Cono
Volumen de un cono
Sección cónica
Coseno
Cilindro
Volumen de un cilindro
Grados
Dilatación
Elipse
Gravedad
Hipérbola
Numeros irracionales
Estación Espacial Internacional
Antena parabólica
Pi
Prisma
Teorema de Pitágoras
Radianes
sus
Esfera
Traducción
Trigonometría
Circulo unitario

Seleccione una de las palabras clave de la izquierda ...




CÍRCULOS Y PIESFERAS, CONOS Y CILINDROS

Tiempo de leer: ~50 minRevelar todos los pasos

En las secciones anteriores, estudiamos las propiedades de los círculos en una
superficie plana. Pero nuestro mundo es tridimensional, así que echemos un
vistazo a algunos sólidos 3D que se basan en círculos:

Un cilindro

Un cilindro es un sólido tridimensional que consta de dos lados circulares,
paralelos y congruentes (las bases), unidos por una superficie curva. También se
podría pensar en un cilindro como un "prisma circular".

consta de dos círculos paralelos congruentes unidos por una superficie curva.

Un cono

Un cono es un sólido tridimensional que tiene una base base circular unida a un
solo punto (llamado vértice __) por un lado curvo. También podría pensar en un
cono como una "pirámide circular".

Un cono derecho es un cono con su vértice directamente sobre el centro de su
base.

tiene una base circular que se une a un solo punto (llamado vértice).

Cada punto en la superficie de una esfera

Una esfera es un sólido tridimensional que consiste en todos los puntos que
tienen la misma distancia desde un centro dado. Esta distancia se llama radio de
la esfera.

está a la misma distancia del centro que los demás.

Observe cómo la definición de una esfera es casi la misma que la definición de
un ???
cuboradiocírculo
, ¡solo que estamos en tres dimensiones!


CILINDROS

Aquí puedes ver el Gasómetro cilíndrico en Oberhausen, Alemania. Solía almacenar
gas natural que se usaba como combustible en fábricas y plantas de energía
cercanas. El gasómetro mide 120 m de altura y su base y techo son dos círculos
grandes de radio 35 m. Hay dos preguntas importantes que los ingenieros pueden
querer responder:

 * ¿Cuánto gas natural se puede almacenar? Este es el ???
   areavolumendiametro
   del cilindro.
 * ¿Cuánto acero se necesita para construir el gasómetro? Esta es
   (aproximadamente) la ???
   diagonalcircunferencia superficie
   del cilindro.

¡Intentemos encontrar fórmulas para ambos resultados!

Gasómetro Oberhausen


VOLUMEN DE UN CILINDRO

La parte superior e inferior de un cilindro son dos círculos congruentes,
llamados bases. La altura h de un cilindro es la distancia perpendicular entre
estas bases, y el radio r de un El cilindro es simplemente el radio de las bases
circulares.

Podemos aproximar un cilindro usando un

5


lado prisma

Un prisma es un sólido tridimensional que tiene dos caras congruentes que son
polígonos (llamadas bases), cuyos vértices correspondientes están unidos por
segmentos paralelos. Las caras restantes de un prisma son todos rectángulos o
paralelogramos.

. A medida que aumenta el número de lados, el prisma comienza a parecerse cada
vez más a un cilindro:



Aunque técnicamente un cilindro no es un prisma, comparten muchas propiedades.
En ambos casos, podemos encontrar el volumen multiplicando el área de su base
por su altura. Esto significa que un cilindro con radio r y altura h tiene
volumen

V=


+
−
×
÷
π






Recuerda que el radio y la altura deben estar expresados en las mismas unidades.
Por ejemplo, si r y h están en cm, entonces el volumen estará en ???
cm2cmcm3
.

En los ejemplos anteriores, las dos bases del cilindro siempre estaban
directamente una encima de la otra: esto se llama cilindro recto. Si las bases
no están directamente una encima de la otra, tenemos un cilindro oblicuo. Las
bases siguen siendo paralelas, pero los lados parecen "inclinarse" en un ángulo
que no es de 90 °.

La Torre inclinada de Pisa en Italia no es un cilindro oblicuo.

El volumen de un cilindro oblicuo resulta ser exactamente el mismo que el de un
cilindro recto con el mismo radio y altura. Esto se debe al Principio de
Cavalieri

El Principio de Cavalieri establece que si dos sólidos tienen la misma altura y
la misma área de sección transversal en cada nivel, ambos tienen el mismo
volumen.

Podemos usar este hecho para deducir que el volumen de prismas y cilindros es el
área de su sección transversal multiplicada por su altura.

, llamado así por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fue un matemático y monje italiano. Desarrolló
un precursor del cálculo infinitesimal, y es recordado por el principio de
Cavalieri de encontrar el volumen de sólidos en la geometría.

Cavalieri también trabajó en óptica y mecánica, introdujo logaritmos en Italia e
intercambió muchas cartas con Galileo Galilei.

Timeline

: si dos sólidos tienen la misma área de sección transversal en cada altura,
entonces tendrán tener el mismo volumen

Imagine cortar un cilindro en muchos discos delgados. Luego podemos deslizar
estos discos horizontalmente para obtener un cilindro oblicuo. El volumen de los
discos individuales no cambia a medida que lo hace oblicuo, por lo tanto, el
volumen total también permanece constante:




SUPERFICIE DE UN CILINDRO

Para encontrar la superficie de un cilindro, tenemos que "desenrollarlo" en el
plano [desarrollo plano](gloss:desarrollo plano). Puedes intentarlo tú mismo,
por ejemplo, quitando la etiqueta de una lata de comida.

Hay dos ???
cuadradoscírculosesferas
, uno en la parte superior y otro en la parte inferior del cilindro. El lado
curvo es en realidad un gran ???
rectánguloelipsecuadrado
.

 * Los dos círculos tienen cada uno un área
   
   
   +
   ×
   π
   
   
   
   .
 * La altura del rectángulo es
   
   
   
   
   
   y el ancho del rectángulo es el mismo que la ???
   diametrocircunferenciatangente
   de los círculos:
   
   
   +
   ×
   π
   
   
   
   .



Esto significa que la superficie total de un cilindro con radio r y altura h
viene dada por

A=


+
−
×
÷
π





.



Los cilindros se pueden encontrar en todo el mundo, desde latas de refrescos
hasta papel higiénico o tuberías de agua. ¿Se te ocurren otros ejemplos?

El Gasómetro anterior tenía un radio de 35 m y una altura de 120 m. Ahora
podemos calcular que su volumen es aproximadamente m3 y su superficie es
aproximadamente m2.


CONOS

Un cono

es un sólido tridimensional que tiene una base circular . Su cara lateral “se
estrecha hacia arriba” como se muestra en el diagrama, y termina en un solo
punto llamado vértice .

El radio del cono es el radio de la base circular, y la altura del cono es la
distancia perpendicular desde la base hasta el vértice.

Al igual que otras formas que conocimos antes, los conos están en todas partes:
conos de helado, conos de tráfico, ciertos techos e incluso árboles de navidad.
¿Qué más se te ocurre?





VOLUMEN DE UN CONO

Anteriormente calculamos el volumen de un cilindro aproximándolo con un prisma.
De manera similar, podemos encontrar el volumen de un cono aproximándolo usando
una pirámide

.

Aquí puedes ver una pirámide de

5


lados. A medida que aumenta el número de lados, la pirámide comienza a parecerse
cada vez más a un cono. De hecho, ¡podríamos pensar en un cono como una pirámide
con infinitos lados!



Esto también significa que podemos usar la ecuación para el volumen:
V=13base×height. La base de un cono es un círculo, por lo que el volumen de un
cono con radio r y altura h es

V=


+
−
×
÷
π






Observe la similitud con la ecuación para el volumen de un cilindro. Imagine
dibujar un cilindro _alrededor del cono, con la misma base y altura; esto se
llama el cilindro circunscrito. Ahora, el cono ocupará exactamente ???
un cuartoun terciola mitad
del volumen del cilindro:

Nota: Puedes pensar que aproximar con infinitos lados muy pequeños es un poco
"impreciso". Los matemáticos pasaron mucho tiempo tratando de encontrar una
forma más directa de calcular el volumen de un cono. ¡En 1900, el gran
matemático David Hilbert

David Hilbert (1862 - 1943) fue uno de los matemáticos más influyentes del siglo
XX. Trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas y estaba particularmente
interesado en construir una base formal y lógica para las matemáticas.

Hilbert trabajó en Gotinga (Alemania), donde enseñó a numerosos estudiantes que
luego se convirtieron en matemáticos famosos. Durante el Congreso Internacional
de Matemáticos en 1900, presentó una lista de 23 problemas sin resolver. Estos
marcan el rumbo para futuras investigaciones, ¡y cuatro de ellos aún no se han
resuelto hoy!

Timeline

incluso lo nombró como uno de los 23 problemas no resueltos más importantes en
matemáticas! Hoy sabemos que en realidad es imposible.

Al igual que un cilindro, un cono no tiene que ser "recto". Si el vértice está
directamente sobre el centro de la base, tenemos un cono recto. De lo contrario,
lo llamamos un cono oblicuo.

Una vez más, podemos usar el principio de Cavalieri para demostrar que todos los
conos oblicuos tienen el mismo volumen, siempre que tengan la misma base y
altura.




SUPERFICIE DE UN CONO

Encontrar la superficie de un cono es un poco más complicado. Como antes,
podemos desenredar un cono en su desarrollo plano. Mueve el control deslizante
para ver qué sucede: en este caso, obtenemos un círculo y un ???
arcosegmento circularsector circular
.

Ahora solo tenemos que sumar el área de ambos componentes. La base es un círculo
con radio r, por lo que su área es

ABase=


+
×
π



.



El radio del sector circular es igual a la distancia del borde de la base un
cono hasta su vértice. Esto se llama generatriz s del cono, y no mide lo mismo
que la altura h . Podemos calcular la generatriz usando el Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en cada triángulo rectángulo, a2+b2=c2,
donde c es la longitud de la hipotenusa y a y b son las longitudes de los otros
dos lados.

Learn more…

:

| s2 | = |


+
×
π



| | s | = |


+
×




| {.eqn-system}


rsh

La longitud del arco del sector es la misma que la ???
circunferenciaarcodiámetro
de la base: 2πr. Ahora podemos encontrar el área del sector utilizando la
fórmula

Un sector de un círculo es parte de su interior, delimitado por dos radios y un
arco. Su área es proporcional al ángulo interno, así como a la longitud del
arco. Esto significa que

ASectorACircle=ArcCircumference=θ2π

Learn more…

que dedujimos en una sección anterior:

| ASector | = | ACircle×arccircumference | | | = |


+
−
×
÷
π





|


rss

Finalmente, solo tenemos que sumar el área de la base y el área del sector ,
para obtener la superficie total del cono:

A=


+
−
×
÷
π







ESFERAS

Una esfera

Una esfera es un sólido tridimensional que consiste en todos los puntos que
tienen la misma distancia desde un centro dado. Esta distancia se llama radio de
la esfera.

es un sólido tridimensional que consta de todos los puntos que están a la misma
distancia de un centro C. Esta distancia se denomina radio r de la esfera.

Puede pensar en una esfera como un "círculo

Un círculo es el conjunto de todos los puntos en dos dimensiones, a una
distancia fija (el radio) desde un punto dado (el centro).

Learn more…

tridimensional". Al igual que un círculo, una esfera también tiene un diámetro
d, que es ???
la mitaddos veces
la longitud del radio, así como cuerdas y secantes.



En una sección anterior, aprendiste cómo el matemático griego Eratóstenes

Eratóstenes de Cirene (c. 276 - 195 a. C.) fue un matemático, geógrafo,
astrónomo, historiador y poeta griego. Pasó gran parte de su vida en Egipto,
como jefe de la biblioteca de Alejandría. Entre muchos otros logros, Eratóstenes
calculó la circunferencia de la Tierra, midió la inclinación del eje de rotación
de la Tierra, estimó la distancia al sol y creó algunos de los primeros mapas
del mundo. También inventó el "Tamiz de Eratóstenes", una forma eficiente de
calcular números primos.

Timeline

calculó el radio de la Tierra usando la sombra de un poste: era 6.371 km. Ahora,
intentemos encontrar el volumen total de la Tierra y su superficie. Continuar


VOLUMEN DE UNA ESFERA

Para encontrar el volumen de una esfera, una vez más tenemos que usar el
Principio de Cavalieri. Comencemos con un hemisferio: una esfera cortada por la
mitad a lo largo del ecuador. También necesitamos un cilindro con el mismo radio
y altura que el hemisferio, pero con un cono invertido "cortado" en el medio.

A medida que mueves el control deslizante hacia arriba, puedes ver la sección
transversal de estas dos formas a una altura específica sobre la base:


rhx

h


Tratemos de encontrar el área de la sección transversal de estos dos sólidos, a
una distancia altura h sobre la base.

La sección transversal del hemisferio es siempre un ???
círculocilindroanillo
.

El radio x de la sección transversal es parte de un triángulo rectángulo , por
lo que podemos usar Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en cada triángulo rectángulo, a2+b2=c2,
donde c es la longitud de la hipotenusa y a y b son las longitudes de los otros
dos lados.

Learn more…

:

r2=h2+x2.

Ahora, el área de la sección transversal es

A=


+
−
×
÷
π






La sección transversal del cilindro recortado siempre es un ???
círculoanillocono
.

El radio del hoyo es h. Podemos encontrar el área del anillo restando el área
del agujero del área del círculo más grande:

| A | = | πr2−πh2 | | | = | πr2−h2 | {.eqn-system}

Parece que ambos sólidos tienen la misma área de sección transversal en todos
los niveles. Según el principio de Cavalieri, ¡ambos sólidos también deben tener
el mismo ???
circunferenciasupeerficievolumen
! Podemos encontrar el volumen del hemisferio restando el volumen del cilindro

El volumen de un cilindro viene dado por la ecuación.

V=πr2h,

donde r es el radio de la base circular, y h es la altura del cilindro (la
distancia perpendicular entre las dos bases).

y el volumen del cono

El volumen de un cono viene dado por la ecuación.

V=13πr2h,

donde r es el radio de la base circular, y h es la altura del cono (la distancia
perpendicular desde la base hasta el vértice).

:

| VHemisphere | = | VCylinder−VCone | | | = |


+
−
×
÷
π





|

Una esfera consta de hemisferios, , lo que significa que su volumen debe ser

V=43πr3.

La Tierra es (aproximadamente) una esfera con un radio de 6.371  km. Por lo
tanto su volumen es

| V | = |


+
−
×
÷
π





| | | = | 1 km3 | {.eqn-system}

La densidad media de la Tierra es 5510kg/m3. Esto significa que su masa total es

Mass=Volume×Density≈6×1024kg

¡Eso es un 6 seguido de 24 ceros!



Si comparas las ecuaciones para el volumen de un cilindro, cono y esfera, es
posible que te des cuenta de una de las relaciones más llamativas de la
geometría. Imagina que tenemos un cilindro con la misma altura que el diámetro
de su base. Ahora podemos colocar tanto un cono como una esfera perfectamente en
su interior:

+

Este cono tiene radio r y altura 2r. Su volumen es


×
π





=

Esta esfera tiene radio r. Su volumen es


×
π





Este cilindro tiene radio r y altura 2r. Su volumen es


×
π





Observa cómo, si ???
restamossumamosmultiplicamos
el volumen del cono y la esfera, ¡obtenemos exactamente el volumen del cilindro!


SUPERFICIE DE UNA ESFERA

Encontrar una fórmula para la superficie de una esfera es muy difícil. Una razón
es que no podemos abrir y "aplanar" la superficie de una esfera, como lo hicimos
antes para conos y cilindros.

Este es un problema particular cuando se trata de crear mapas. La Tierra tiene
una superficie curva tridimensional, pero cada mapa impreso debe ser plano y
bidimensional. Esto significa que los geógrafos tienen que hacer trampa:
estirando o aplastando ciertas áreas.

Aquí puedes ver algunos tipos diferentes de mapas, llamados proyecciones.
Intenta mover el cuadrado rojo y observa cómo se ve este área en realidad en un
globo:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

Al ir moviendo el cuadrado en el mapa observa como cambia el tamaño y la forma
de la superficie en el globo tridimensional.

Para encontrar la superficie de una esfera, una vez más podemos aproximarla
usando una forma diferente, por ejemplo, un poliedro con muchas caras. A medida
que aumenta el número de caras, el poliedro comienza a parecerse cada vez más a
una esfera.

PRÓXIMAMENTE: Prueba de área de superficie de esfera

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Secciones cónicas

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