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</div><label for="MathInput" aria-live="assertive" aria-atomic="true" class="_3xmJdqc3">At End of Start Integral, Start integrand, x sin( Start Power, Start base, x , base End,Start exponent, 2 , exponent End , Power End ) , integrand End,Start
first variable, x , first variable End , Integral End</label><input id="MathInput" autocomplete="off" autocorrect="off" autocapitalize="off" class="_317oKOh9 focus-visible" aria-hidden="true" enterkeyhint="go"
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x sinx2dx
At End of Start Integral, Start integrand, x sin( Start Power, Start base, x ,
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first variable, x , first variable End , Integral End
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Wolfram|Alpha ist ein großartiges Werkzeug zur Berechnung von Stammfunktionen
und bestimmten Integralen, Doppel- und Dreifachintegralen und uneigentlichen
Integralen. Es bietet außerdem Plots, alternative Darstellungen und andere
relevante Informationen, die Ihre mathematische Intuition steigern.
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TIPPS ZUR EINGABE VON ABFRAGEN
Geben Sie Ihre Abfragen in englischer Sprache ein. Um mehrdeutige Abfragen zu
vermeiden, setzen Sie, wo nötig, Klammern. Hier sind einige Beispiele, die
illustrieren, wie Sie ein Integral abfragen.
* integrate x/(x-1)
* integrate x sin(x^2)
* integrate x sqrt(1-sqrt(x))
* integrate x/(x+1)^3 from 0 to infinity
* integrate 1/(cos(x) + 2) from 0 to 2pi
* integrate x^2 sin y dx dy, x=0 to 1, y=0 to pi
* View more examples
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WAS SIND INTEGRALE??
DIE INTEGRALRECHNUNG IST EIN WESENTLICHER BESTANDTEIL DER ANALYSIS ZUR
BESTIMMUNG DER STAMMFUNKTION ODER DES FLÄCHENINHALTS UNTER EINER KURVE.
Das unbestimmte Integral von f(x), notiert als int f(x) dx, ist definiert als
die Stammfunktion von f(x). Anders ausgedrückt, die Ableitung von int f(x) dx
ist f(x). Da die Ableitung einer Konstante Null ist, sind unbestimmte Integrale
nur bis zu einer beliebigen Konstante definiert. Beispielsweise ist int sin(x)
dx = -cos(x) + Konstante, da die Ableitung von -cos(x) + constant sin(x) ist.
Das bestimmte Integral von f(x) im Intervall x = a bis x = b, notiert als
int_(a)^(b)f(x) dx, ist definiert als der positive und/oder negative
Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse, von x = a bis x = b.
Stammfunktionen und Integrale sind durch den Fundamentalsatz der Analysis
verbunden. Dieser besagt: Ist f(x) integrierbar über [a,b] und F(x) deren
stetige Stammfunktion, dann gilt int_(a)^(b) f(x) dx = F(b) - F(a). Daraus folgt
int_(0)^(pi) sin(x) dx = (-cos(pi))-(-cos(0)) = 2. Manchmal ist es nötig, das
bestimmte Integral näherungsweise zu berechnen. Zu diesem Zweck werden häufig
dünne Rechtecke unter der Kurve platziert und die positiven und negativen
Flächen addiert. Wolfram|Alpha kann eine Fülle von Integralen lösen.
WIE WOLFRAM|ALPHA INTEGRALE BERECHNET
Wolfram|Alpha berechnet Integrale auf andere Art als Menschen. Es ruft
Mathematicas Integrate-Funktion auf, die auf umfassender mathematischer und
berechnungsbezogener Forschungsarbeit basiert. Integrate bewältigt Integrale
anders als Menschen. Es verwendet nämlich leistungsfähige, allgemeine
Algorithmen, die häufig auf äußerst anspruchsvoller Mathematik aufbauen. Für
gewöhnlich werden dazu eine Reihe unterschiedlicher Verfahren angewendet. Eines
davon besteht darin, die allgemeine Form für ein Integral auszuarbeiten, diese
Form zu differenzieren und Gleichungen nach unbestimmten symbolischen Parametern
zu lösen. Sogar für relativ einfache Integranden können die so generierten
Gleichungen hochkomplex sein und benötigen Mathematicas starke algebraische
Rechenfähigkeiten. Ein anderes Verfahren, das Mathematica bei der Berechnung von
Integralen anwendet, ist die Umwandlung der Integrale in verallgemeinerte
hypergeometrische Funktionen mit anschließender Anwendung von Formelsammlungen
zu diesen sehr allgemeinen mathematischen Funktionen.
Obwohl Wolfram|Alpha dank dieser mächtigen Algorithmen Integrale in sehr kurzer
Zeit berechnen und eine Vielzahl spezieller Funktionen bewältigen kann, ist es
dennoch wichtig, zu verstehen, wie ein Mensch Integralrechnungen durchführen
würde. Aus diesem Grund bietet Wolfram|Alpha auch Algorithmen, um Integrationen
Schritt für Schritt vorzunehmen. Diese Algorithmen wenden völlig andere
Integrationstechniken an, die das manuelle Lösen eines Integrals nachahmen,
einschließlich Integration durch Substitution, partieller Integration,
trigonometrischer Substitution und Integration durch Partialbruchzerlegung.
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