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Pase el mouse sobre algunas de las celdas para ver cómo se calculan y luego complete las que faltan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 495 792 924 792 495 66 12 1 Este diagrama solo muestra las primeras doce filas, pero podríamos continuar para siempre, agregando nuevas filas en la parte inferior. Observe que el triángulo es ??? rectoequiláterosimétrico , lo que puede ayudarlo a calcular algunas de las celdas. El triángulo se llama El triángulo de Pascal El triángulo de Pascal es una pirámide numérica en la que cada celda es la suma de las dos celdas directamente arriba. Contiene todos los coeficientes binomiales, así como muchas otras secuencias numéricas y patrones. , llamado así por el matemático francés Blaise Pascal Blaise Pascal (1623 - 1662) fue un matemático, físico y filósofo francés. Inventó algunas de las primeras calculadoras mecánicas, además de trabajar en geometría proyectiva, probabilidad y física del vacío. Lo más famoso es que Pascal es recordado por nombrar Triángulo de Pascal, un triángulo infinito de números con algunas propiedades sorprendentes. Timeline . Fue uno de los primeros matemáticos europeos en investigar sus patrones y propiedades, pero fue conocido por otras civilizaciones muchos siglos antes: En 450 a. C., el matemático indio Pingala Pingala (पिङ्गल) fue un antiguo poeta y matemático indio que vivió alrededor del año 300 a. C., pero se sabe muy poco sobre su vida. Escribió la Chandaḥśāstra, donde analizó matemáticamente la poesía sánscrita. También contenía las primeras explicaciones conocidas de números binarios, números de Fibonacci y el triángulo de Pascal. Timeline llamó al triángulo la "Escalera del Monte Meru", llamada así por una montaña sagrada hindú. En Irán, se conocía como el "Triángulo de Khayyam" (مثلث خیام), llamado así por el poeta y matemático persa Omar Khayyám Omar Khayyam (عمر خیّام, 1048-1131) fue un matemático, astrónomo y poeta persa. Se las arregló para clasificar y resolver todas las ecuaciones cúbicas, y encontró nuevas formas de entender el axioma paralelo de Euclides. Khayyam también diseñó el calendario Jalali, un calendario solar preciso que todavía se usa en algunos países. Timeline . En China, el matemático Jia Xian también descubrió el triángulo. Fue nombrado después de su sucesor, "El triángulo de Yang Hui" (杨辉 三角). El triángulo de Pascal se puede crear usando un patrón muy simple, pero está lleno de patrones y propiedades sorprendentes. Es por eso que ha fascinado a los matemáticos de todo el mundo, durante cientos de años. Continuar BUSCANDO SECUENCIAS En las secciones anteriores vimos innumerables secuencias matemáticas diferentes. Resulta que muchos de ellos también se pueden encontrar en el triángulo de Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 Los números en la primera diagonal a cada lado son todos ??? unocrecientespares . Los números en la segunda diagonal a cada lado son los ??? enterosprimosnúmeros cuadrados . Los números en la tercera diagonal a cada lado son los ??? números cuadradosnúmeros de triánguloNúmeros de Fibonacci . Los números en la cuarta diagonal son los ??? números cúbicosnúmeros tetraédricospotencias de 2 . Si sumas todos los números en una fila, sus sumas forman otra secuencia: los ??? números perfectosnúmeros primospotencias de dos . En cada fila que tiene un número primo en su segunda celda, todos los números siguientes son ??? inversosmúltiplosfactores de ese primo. El diagrama anterior resalta las diagonales "superficiales" en diferentes colores. Si sumamos los números en cada diagonal, obtenemos los ??? números de granizouna secuencia geométricanúmeros de Fibonacci . Por supuesto, cada uno de estos patrones tiene una razón matemática que explica por qué aparece. ¡Quizás puedas encontrar algunos de ellos! Otra pregunta que podemos hacer es con qué frecuencia aparece un número en el triángulo de Pascal. Claramente, hay infinitos 1s, uno 2, y todos los demás números aparecen ??? al menos dos vecesexactamente dos vecesal menos una vez , en la segunda diagonal a cada lado. Algunos números en el medio del triángulo también aparecen tres o cuatro veces. Incluso hay algunas que aparecen seis veces: puede ver tanto 120 como 3003 cuatro veces en el triángulo de arriba, y aparecerán dos veces más cada una en las filas 120 y 3003 . Como 3003 es un número de triángulo, en realidad aparece dos veces más en las diagonales tercera del triángulo, lo que hace ocho ocurrencias en total. Se desconoce si hay otros números que aparecen ocho veces en el triángulo, o si hay números que aparecen más de ocho veces. El matemático estadounidense David Singmaster David Singmaster (nacido en 1939) es un matemático estadounidense particularmente conocido por sus acertijos matemáticos y acertijos. Fue el primero en crear algoritmos matemáticos para analizar y resolver el Cubo de Rubik. planteó la hipótesis de que hay un límite fijo sobre la frecuencia con la que los números pueden aparecer en el triángulo de Pascal, pero aún no se ha demostrado. DIVISIBILIDAD Algunos patrones en el triángulo de Pascal no son tan fáciles de detectar. En el siguiente diagrama, resalte todas las celdas que son pares: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Parece que los números pares en el triángulo de Pascal forman ??? un cuadradouna matrizotro triángulo más pequeño . Colorear cada celda manualmente lleva mucho tiempo, pero aquí puede ver qué sucede si haríamos esto para muchas más filas. ¿Y qué hay de las céldas divisibles por otros números? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1 1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1 1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1 1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1 1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1 1 24 276 2024 10626 42504 134596 346104 735471 1307504 1961256 2496144 2704156 2496144 1961256 1307504 735471 346104 134596 42504 10626 2024 276 24 1 Divisible por 2Divisible por 3Divisible por 4Divisible por 5 ¡Guauu! Las celdas de colores siempre aparecen en ??? parescuadradostriángulos (a excepción de algunas celdas individuales, que podrían verse como triángulos de tamaño 1). Si continuamos el patrón de celdas divisibles por 2, obtenemos uno que es muy similar al triángulo de Sierpinski a la derecha. Las formas como esta, que consisten en un patrón simple que parece continuar para siempre mientras se hacen cada vez más pequeñas, se denominan Fractales Un fractal es una forma geométrica que tiene una dimensión fraccional. Muchos fractales famosos son auto-similares, lo que significa que consisten en copias más pequeñas de sí mismos. Los fractales contienen patrones en cada nivel de aumento, y se pueden crear repitiendo un procedimiento o iterando una ecuación infinitamente muchas veces. Learn more… . Aprenderemos más sobre ellos en el futuro … El triángulo de Sierpinski COEFICIENTES BINOMIALES Hay una propiedad más importante del triángulo de Pascal de la que tenemos que hablar. Para entenderlo, intentaremos resolver el mismo problema con dos métodos completamente diferentes y luego veremos cómo están relacionados. MUY PRONTO Para revelar más contenido, debe completar todas las actividades y ejercicios anteriores. ¿Estás atascado? Saltar al siguiente paso o revelar todos los pasos Siguiente: Límites y convergencia ¡Bienvenido a Mathigon! Soy Archie, tu tutor personal. Nuestro contenido se divide en pequeños pasos. Tienes que completar las actividades para revelar lo que sigue. Archie ¡Bienvenido a Mathigon! Soy Archie, tu tutor personal. Nuestro contenido se divide en pequeños pasos. Tienes que completar las actividades para revelar lo que sigue.